Introducción a la teoría de números

Nacida de la necesidad primaria del hombre de contar y medir, la aritmética, al igual que la geometría, tiene su origen en los tiempos prehistóricos. Las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron un sistema propio de numeración y operaciones básicas, pero el creado en la India se impuso por su aparente sencillez: la utilización del cero y de la notación con valor numérico posicional. Desde entonces comenzó el desarrollo de la teoría de los números.

Este libro es una introducción elemental a la teoría de números o aritmética superior: comienza con un análisis de la noción de divisibilidad e introduce las propiedades elementales de las congruencias, las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofánticas de segundo y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a la aritmética de curvas elípticas.Una novedad del libro es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin.

CONTENIDO

Prólogo

• Matemáticos cuyos trabajos se han citado en el libro
• Lista de símbolos más usados

I. El teorema fundamental de la aritmética
 

1. Divisibilidad

• El algoritmo de la división
• Máximo común divisor
• Ejercicios

2. Primos y factorización única

• Factorización única
• La criba de Eratóstenes
• Infinitud del conjunto de primos
• Ejercicios

3. El algoritmo de Euclides

• El mínimo común múltiplo
• Ejercicios

4. Ecuaciones diofantinas lineales

• Ejercicios

II. Congruencias y criptografía

1. Congruencias y aritmética modular

• Congruencias lineales
• Ejercicios

2. Los teoremas de Fermat y Euler

• Ejercicios

3. Criptografía

• Cifradores de substitución
• Criptoanálisis
• Ejercicios

4. El criptosistema RSA

• Un algoritmo para calcular potencias y raíces
• Un algoritmo para escribir un decimal en binario
• Eficiencia de algunos algoritmos
• Eficiencia del algoritmo de Euclides
• Eficiencia del cálculo de potencias y raíces modulo
• Firmas digitales
• Ejercicios

III. Números perfectos y funciones multiplicativas

1. Primos de Mersenne y números perfectos

• Ejercicios

2. Funciones multiplicativas

• Divisores y la función de Euler
• El número de divisores de un entero
• La función de Möbius
• Ejercicios

IV. Raíces primitivas y logaritmos discretos

• Ejercicios

1. Raíces primitivas

• Ejercicios
• Raíces primitivas para potencias de primos
• El exponente de U (Z/n)
• Ejercicios
• Raíces primitivas para potencias de primos
• Raíces primitivas para potencias de 2
• Ejercicios
• Raíces primitivas en el caso general
• Resumen
• Ejercicios

2. Logaritmos discretos

• Ejercicios

3. El intercambio de claves de Diffie-Hellman
4. El criptosistema de ElGamal

• Firmas digitales usando El Gamal
• Ejercicios

V. Residuos cuadráticos

1. Residuos cuadráticos y raíces primitivas módulo p

• ¿Cuándo es 1 un RC módulo p?
• ¿Cuándo es 2 un RC módulo p?
• Ejercicios

2. La ley de reciprocidad cuadrática

• Congruencias cuadráticas en general
• Primos de la forma ak + b
• Ejercicios

3. El símbolo de Jacobi

• Ejercicios

4. El cripotsistema de Rabin

• Ejercicios

VI. Sumas de potencias

1. Ternas pitagóricas

• Una excursión por la geometría
• Ejercicios

2. La conjetura de Fermat

• Ejercicios

3. Sumas de dos cuadrados

• Ejercicios

4. Sumas de cuatro cuadrados

• Sumas de tres cuadrados
• Ejercicios
• Un poco de historia

VII. La ecuación de Pell y aproximaciones diofantinas

1. La ecuación de Pell: un caso particular

• El problema del ganado de Arquímedes
• El caso particular de la ecuación de Pell
• Ejercicios

2. La ecuación de Pell: el caso general

• Ejercicios

3. Aproximación diofantina y la ecuación de Pell

• La existencia de soluciones de la ecuación de Pell
• Ejercicios

VIII. Números congruentes y curvas elípticas

1. Números congruentes

• Puntos racionales en ciertas cubicas
• Ejercicios

2. Curvas elípticas

• La operación de grupo
• El teorema de Mordell
• Reducción módulo p
• Ejercicios

3. La función L de Hasse-Weil de una curva elíptica

Bibliografía

Índice analítico y onomástico